6. Выяснить, при каком значении a многочлен P(x) делится на многочлен Q(x): 1) P(x)=6x³+7x+a, Q(x)=2x+3; 2) P(x)=x⁶+x⁵−4x⁴−4x³+ax²+4x+a, Q(x)=x+1; 3) P(x)=x³+ax²+ax−15, Q(x)=x−3; 4) P(x)=−4x²+ax+5, Q(x)=4x+5.

По теореме об остатке делимость на линейный многочлен означает, что P обращается в ноль при корне Q.

1. Корень 2x+3: x=−3/2. Условие P(−3/2)=0 даёт a=123/4.

2. Корень x+1: x=−1. Тогда P(−1)=2a−4=0, откуда a=2.

3. Корень x−3: x=3. Тогда P(3)=12+12a=0, откуда a=−1.

4. Корень 4x+5: x=−5/4. Тогда P(−5/4)=−5/4−5a/4=0, откуда a=−1.

Ответ: 1) a=123/4; 2) a=2; 3) a=−1; 4) a=−1.