10. Решить неравенство x⁴ + 3x² + 1 > 0

Привет! Давай разберемся с этим неравенством.

Шаг 1: Заметим структуру уравнения

Это неравенство похоже на квадратное, если сделать замену переменной. Заметим, что оно содержит только четные степени x (x^4 и x^2).

Шаг 2: Введем замену переменной

Пусть y = x^2. Так как x^2 всегда неотрицательно (x^2 \ge 0), то и y \ge 0.

Тогда x^4 = (x^2)^2 = y^2.

Подставим замену в неравенство:

• \[ y^2 + 3y + 1 > 0 \]

Шаг 3: Решим квадратное неравенство относительно y

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения y^2 + 3y + 1 = 0. Воспользуемся дискриминантом:

a = 1, b = 3, c = 1.

• \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5 \]
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{5} \]

Корни для y:

• \[ y_1 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \]
• \[ y_2 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \]

Шаг 4: Проанализируем корни и условие y ≥ 0

Теперь посмотрим на эти корни:

• \sqrt{5} примерно равно 2.23.
• y_1 = \frac{-3 + 2.23}{2} = \frac{-0.77}{2} \approx -0.385
• y_2 = \frac{-3 - 2.23}{2} = \frac{-5.23}{2} \approx -2.615

Оба корня y_1 и y_2 отрицательные.

Наше неравенство y^2 + 3y + 1 > 0 выполняется, когда y находится вне интервала между корнями (так как парабола y^2 + 3y + 1 ветвями вверх). То есть, y < y_2 или y > y_1.

• y < \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}
• y > \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}

Шаг 5: Учтем, что y = x² ≥ 0

Мы знаем, что y = x^2, а значит y не может быть отрицательным. Нам нужно найти такие значения x, для которых x^2 удовлетворяет условиям из Шага 4.

Рассмотрим условия для y:

1. y < \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}. Это означает x^2 < \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}. Поскольку правая часть отрицательна, а x^2 не может быть отрицательным, это условие никогда не выполняется.
2. y > \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}. Это означает x^2 > \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}.

Мы уже выяснили, что \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} является отрицательным числом (приблизительно -0.385).

Неравенство x^2 > (отрицательное число) выполняется всегда, для любого действительного значения x, потому что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (\ge 0), а значит, он всегда будет больше любого отрицательного числа.

Шаг 6: Вывод

Таким образом, исходное неравенство x^4 + 3x^2 + 1 > 0 истинно для всех действительных значений x.

Ответ: Решением неравенства является множество всех действительных чисел, x \in R.