9. Решить неравенство (x²+x+1)/2 - (x²-x-1)/3 ≤ 1/6

Привет! Давай вместе решим это неравенство.

Шаг 1: Приведем к общему знаменателю

Чтобы избавиться от дробей, найдем наименьший общий знаменатель для чисел 2, 3 и 6. Это число 6.

Умножим каждую часть неравенства на 6:

• \[ 6 \cdot \frac{x^2+x+1}{2} - 6 \cdot \frac{x^2-x-1}{3} \le 6 \cdot \frac{1}{6} \]

Сократим знаменатели:

• \[ 3(x^2+x+1) - 2(x^2-x-1) \le 1 \]

Шаг 2: Раскроем скобки и упростим неравенство

Теперь раскроем скобки, помня о знаках:

• \[ 3x^2 + 3x + 3 - (2x^2 - 2x - 2) \le 1 \]
• \[ 3x^2 + 3x + 3 - 2x^2 + 2x + 2 \le 1 \]

Сгруппируем подобные члены:

• \[ (3x^2 - 2x^2) + (3x + 2x) + (3 + 2) \le 1 \]
• \[ x^2 + 5x + 5 \le 1 \]

Шаг 3: Перенесем все в одну сторону

Снова перенесем единицу влево, чтобы справа получился ноль:

• \[ x^2 + 5x + 5 - 1 \le 0 \]
• \[ x^2 + 5x + 4 \le 0 \]

Шаг 4: Найдем корни соответствующего уравнения

Теперь нам нужно найти корни квадратного уравнения x^2 + 5x + 4 = 0. Воспользуемся теоремой Виета:

x_1 + x_2 = -5

x_1 \cdot x_2 = 4

Легко подобрать числа: -1 и -4.

• -1 + (-4) = -5 (Верно)
• (-1) \cdot (-4) = 4 (Верно)

Значит, корни: x_1 = -1 и x_2 = -4.

Шаг 5: Определим интервалы на числовой прямой

Полученные корни (-4 и -1) делят числовую прямую на три интервала: (-\infty; -4], [-4; -1] и [-1; +\infty).

Наше неравенство x^2 + 5x + 4 \le 0. Парабола y = x^2 + 5x + 4 ветвями вверх, поэтому значения функции будут отрицательными (или равными нулю) между корнями.

Чтобы убедиться, можно подставить любое значение из интервала:

• Возьмем x = -5 (из первого интервала): (-5)^2 + 5(-5) + 4 = 25 - 25 + 4 = 4 (больше 0).
• Возьмем x = -2 (из второго интервала): (-2)^2 + 5(-2) + 4 = 4 - 10 + 4 = -2 (меньше 0).
• Возьмем x = 0 (из третьего интервала): 0^2 + 5(0) + 4 = 4 (больше 0).

Нам нужны значения, где \le 0, то есть отрицательные или равные нулю. Это интервал [-4; -1].

Ответ: Решением неравенства является интервал [-4; -1].