6. Решить уравнение x² - x + √3 = 3

Привет! Давай разберемся с этим уравнением.

Шаг 1: Перенесем все в одну сторону

Для начала, чтобы решить квадратное уравнение, нужно, чтобы справа стоял ноль. Перенесем тройку влево:

• \[ x^2 - x + \sqrt{3} - 3 = 0 \]

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение

Теперь у нас есть уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где:

• a = 1
• b = -1
• c = \sqrt{3} - 3

Найдем дискриминант по формуле D = b^2 - 4ac:

• \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (\sqrt{3} - 3) \]
• \[ D = 1 - 4\sqrt{3} + 12 \]
• \[ D = 13 - 4\sqrt{3} \]

Шаг 3: Найдем корни уравнения

Корни находятся по формуле x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}:

• \[ x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}}{2} \]
• \[ x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}}{2} \]

Шаг 4: Упростим корень (если возможно)

Попробуем упростить \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}. Можно представить 13 как 12 + 1, а 4\sqrt{3} как 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}. Ищем два числа, квадрат которых в сумме даст 13, а удвоенное произведение даст 4\sqrt{3}. Это могут быть 12 и 1. То есть (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. Здесь a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} и b = 1. Тогда (2\sqrt{3} - 1)^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 12 - 4\sqrt{3} + 1 = 13 - 4\sqrt{3}.

Значит, \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} - 1 (берем положительный корень, так как 2\sqrt{3} больше 1).

Шаг 5: Финальные корни

Подставим упрощенный корень обратно в формулы для корней:

• \[ x_1 = \frac{1 + (2\sqrt{3} - 1)}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \]
• \[ x_2 = \frac{1 - (2\sqrt{3} - 1)}{2} = \frac{1 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{3}}{2} = 1 - \sqrt{3} \]

Ответ: Корни уравнения: x = \sqrt{3} и x = 1 - \sqrt{3}.