8. Решить уравнение (2x² - x)² - 6x² + 3x = 0

Привет! Давай вместе разберемся с этим хитрым уравнением.

Шаг 1: Заметим закономерность

Посмотри внимательно на выражение. Мы видим (2x^2 - x)^2 и -6x^2 + 3x. Обрати внимание, что -6x^2 + 3x можно представить как -3(2x^2 - x).

Шаг 2: Введем замену переменной

Чтобы упростить уравнение, давай введем новую переменную. Пусть y = 2x^2 - x.

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

• \[ y^2 - 3y = 0 \]

Шаг 3: Решим уравнение с новой переменной

Это простое квадратное уравнение. Вынесем y за скобки:

• \[ y(y - 3) = 0 \]

Отсюда получаем два возможных значения для y:

• y = 0
• y - 3 = 0, то есть y = 3

Шаг 4: Вернемся к исходной переменной x

Теперь нам нужно подставить обратно 2x^2 - x вместо y и решить два уравнения:

Случай 1: y = 0

• \[ 2x^2 - x = 0 \]

Вынесем x за скобки:

• \[ x(2x - 1) = 0 \]

Отсюда получаем два корня:

• x = 0
• 2x - 1 = 0, то есть 2x = 1, x = 1/2

Случай 2: y = 3

• \[ 2x^2 - x = 3 \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

• \[ 2x^2 - x - 3 = 0 \]

Решим это уравнение через дискриминант. a = 2, b = -1, c = -3.

• \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 \]
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{25} = 5 \]

Теперь найдем корни:

• \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm 5}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 5}{4} \]

Получаем два корня:

• \[ x_3 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]
• \[ x_4 = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

Шаг 5: Соберем все корни

Мы нашли четыре корня:

• x = 0
• x = 1/2
• x = 3/2
• x = -1

Ответ: Корни уравнения: x = 0, x = 1/2, x = 3/2, x = -1.