10. Решить задачи: 1) Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними — 120°. Найдите третью сторону треугольника. 2) Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 6 см, 13 см и 12 см.

1) По теореме косинусов для стороны x, противоположной углу 120°:

\(x^2=10^2+12^2-2\cdot10\cdot12\cos120^\circ\).

Так как \(\cos120^\circ=-\dfrac12\), получаем \(x^2=100+144+120=364\), значит, \(x=\sqrt{364}=2\sqrt{91}\) см.

2) Наибольшая сторона — 13 см. Сначала проверим существование треугольника: \(6+12>13\), значит, треугольник существует. Сравним квадраты: \(13^2=169\), а \(6^2+12^2=36+144=180\). Поскольку \(169<180\), треугольник остроугольный.

Ответ: 1) \(2\sqrt{91}\) см; 2) остроугольный.