10. Решите неравенство 6х^2(2x+9) ≤ 1.

Это кубическое неравенство, которое решается методом интервалов. Сначала перенесем все в левую часть, чтобы получить неравенство вида $$f(x) \le 0$$.

1. Раскроем скобки:\[ 12x^3 + 54x^2 \le 1 \]
2. Перенесем 1 в левую часть:\[ 12x^3 + 54x^2 - 1 \le 0 \]
3. Найдем корни уравнения $$12x^3 + 54x^2 - 1 = 0$$. Это уравнение сложно решить аналитически без специальных методов или численных приближений. Вероятно, в задании предполагалось решение с помощью вариантов ответов или более простое неравенство. Проверим предложенные варианты, подставляя их в исходное неравенство $$6x^2(2x+9) \le 1$$.

Проверка вариантов:

Вариант 1: $$x = 9.5$$

\[ 6(9.5)^2(2(9.5)+9) = 6(90.25)(19+9) = 6(90.25)(28) \] Это будет очень большое положительное число, явно больше 1. Не подходит.

Вариант 3: $$x = 9.5$$ (такой же, как первый, не подходит).

Вариант 2: $$x = -8.5$$

\[ 6(-8.5)^2(2(-8.5)+9) = 6(72.25)(-17+9) = 6(72.25)(-8) \] Это будет большое отрицательное число, которое меньше 1. Похоже, подходит.

Вариант 4: $$x = -8.5$$ (такой же, как второй).

Для полной уверенности, если бы это было задание с выбором ответа, нужно было бы исследовать функцию $$f(x) = 12x^3 + 54x^2 - 1$$.

Давайте предположим, что решение сводится к одному из интервалов, содержащих предложенные точки.

Проверим точку $$x = -8.5$$ и $$x=9.5$$ в исходном неравенстве $$6x^2(2x+9) \le 1$$.

• При $$x = -8.5$$: $$6(-8.5)^2(2(-8.5)+9) = 6(72.25)(-17+9) = 6(72.25)(-8) = -3468 ≤ 1$$. Верно.
• При $$x = 9.5$$: $$6(9.5)^2(2(9.5)+9) = 6(90.25)(19+9) = 6(90.25)(28) = 15159 ≤ 1$$. Неверно.

Теперь давайте рассмотрим интервалы. Если $$x$$ очень большой положительный, $$12x^3$$ будет доминировать и будет больше 1. Если $$x$$ очень большой отрицательный (например, $$x=-10$$), $$12x^3$$ будет большим отрицательным числом, а $$54x^2$$ будет большим положительным, но $$12x^3$$ будет доминировать. $$12(-10)^3 + 54(-10)^2 - 1 = 12(-1000) + 54(100) - 1 = -12000 + 5400 - 1 = -6601 \le 0$$. Верно.

Исходя из проверки точки $$x=-8.5$$, которая удовлетворяет неравенству, и из общего поведения кубической функции, можно предположить, что решение включает интервалы, где $$f(x) \le 0$$.

Наиболее вероятным ответом, исходя из предложенных вариантов и проверки точки $$x = -8.5$$, является интервал, включающий эту точку.

Вариант 2: $$[-8.5; 9.5]$$

• Мы проверили $$x=-8.5$$ (верно) и $$x=9.5$$ (неверно).

Вариант 4: $$(-\infty; -8.5]$$

• При $$x = -9$$, $$6(-9)^2(2(-9)+9) = 6(81)(-18+9) = 6(81)(-9) = -4374 \le 1$$. Верно.

Таким образом, правильным ответом, скорее всего, является интервал, который включает -8.5 и при котором кубическая функция отрицательна или равна нулю. Без точного нахождения корней кубического уравнения сложно дать однозначный ответ. Однако, если исходить из того, что один из вариантов является правильным, и точка -8.5 удовлетворяет неравенству, то варианты 2 или 4 могут быть верными. Но учитывая, что 9.5 не удовлетворяет, вариант 2 [-8.5; 9.5] не подходит.

Если предположить, что в вариантах указаны границы одного из интервалов решения, и -8.5 является корнем или началом интервала, то наиболее логичным выбором будет вариант, который включает -8.5 и простирается в сторону отрицательных чисел, где кубическая функция, скорее всего, остается отрицательной.

Ответ: 4) (-∞; -8,5] (при условии, что -8.5 является корнем или верхней границей интервала, где функция неположительна, и для больших отрицательных x функция также неположительна)