10. Решите уравнение: 2 sin(3x - π/6) + √3 = 0

Решение:

Для решения уравнения \( 2 \sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) + \sqrt{3} = 0 \) сначала выразим синус:

\[ 2 \sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{3} \]\[ \sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Мы знаем, что \( \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) при \( \alpha = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \) или \( \alpha = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Рассмотрим два случая:

Случай 1:

\[ 3x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \]

Прибавим \( \frac{\pi}{6} \) к обеим частям:

\[ 3x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ 3x = -\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k \]\[ 3x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \]

Разделим на 3:

\[ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} \]

Случай 2:

\[ 3x - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \]

Прибавим \( \frac{\pi}{6} \) к обеим частям:

\[ 3x = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ 3x = \frac{8\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k \]\[ 3x = \frac{9\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \]

Разделим на 3:

\[ x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3} \]

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} \) или \( x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3} \), где \( k \) — целое число.