8. Вычислите определенный интеграл: ∫(16x³ – 14x – 2) dx от 1 до 2

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_{1}^{2} (16x^3 - 14x - 2) dx \) сначала найдём первообразную для подынтегральной функции \( f(x) = 16x^3 - 14x - 2 \).

Первообразная \( F(x) \) находится по правилу интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).

• Интеграл от \( 16x^3 \) равен \( 16 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 16 \cdot \frac{x^4}{4} = 4x^4 \).
• Интеграл от \( -14x \) равен \( -14 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -14 \cdot \frac{x^2}{2} = -7x^2 \).
• Интеграл от \( -2 \) равен \( -2x \).

Таким образом, первообразная \( F(x) = 4x^4 - 7x^2 - 2x \).

Теперь вычислим определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\[ \int_{1}^{2} (16x^3 - 14x - 2) dx = F(2) - F(1) \]

Вычислим \( F(2) \):

\[ F(2) = 4(2)^4 - 7(2)^2 - 2(2) = 4(16) - 7(4) - 4 = 64 - 28 - 4 = 32 \]

Вычислим \( F(1) \):

\[ F(1) = 4(1)^4 - 7(1)^2 - 2(1) = 4 - 7 - 2 = -5 \]

Теперь найдём разность:

\[ F(2) - F(1) = 32 - (-5) = 32 + 5 = 37 \]

Ответ: 37