11. Решите неравенство: log0,5 (x-1) > -1

Решение:

Для решения неравенства \( \log_{0.5} (x-1) > -1 \) нужно учесть два условия:

1. Область допустимых значений (ОДЗ): Аргумент логарифма должен быть положительным.
\[ x - 1 > 0 \]\[ x > 1 \]

2. Решение самого неравенства: Так как основание логарифма \( 0.5 \) меньше 1, при раскрытии логарифма знак неравенства меняется на противоположный.
\[ x - 1 < (0.5)^{-1} \]


Вычислим \( (0.5)^{-1} \):

\[ (0.5)^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2^1 = 2 \]


Теперь неравенство выглядит так:

\[ x - 1 < 2 \]\[ x < 3 \]


Объединим условия:

Мы получили, что \( x > 1 \) (из ОДЗ) и \( x < 3 \) (из решения неравенства).

Совмещая эти два условия, получаем интервал:

\[ 1 < x < 3 \]


Ответ: \( (1; 3) \)