10. Решите уравнение: cos 2x + 5 sin x + 2 = 0.

Решение:

Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \).

Подставляем в уравнение:

\( 1 - 2\sin^2 x + 5\sin x + 2 = 0 \)

\( -2\sin^2 x + 5\sin x + 3 = 0 \)

\( 2\sin^2 x - 5\sin x - 3 = 0 \)

Пусть \( t = \sin x \). Тогда получим квадратное уравнение:

\( 2t^2 - 5t - 3 = 0 \)

Найдём дискриминант: \( D = (-5)^2 - 4 · 2 · (-3) = 25 + 24 = 49 \>.

\( t_1 = ½ \), \( t_2 = -3 \>.

Возвращаемся к замене: \( \sin x = ½ \) или \( \sin x = -3 \>.

\( \sin x = -3 \) не имеет решений, так как \( -1 ≤ \sin x ≤ 1 \>.

Решаем \( \sin x = ½ \):

\( x = ³⁻/6 + 2πn \) или \( x = 5π/6 + 2πn \), где \( n ∈ ℤ \>.

Ответ: \( x = ³⁻/6 + 2πn \) или \( x = 5π/6 + 2πn \), \( n ∈ ℤ \>.