8. В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 60°. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решение:

Пусть апофема равна \( l \), высота пирамиды \( h = 6 \) см, сторона основания \( a \).

1. В прямоугольном треугольнике, образованном апофемой, высотой пирамиды и радиусом, вписанным в основание (половина стороны основания), угол между апофемой и основанием равен 60°.
2. \( ³√{a/2} \) — это катет, прилежащий к углу 60°, а \( h = 6 \) — противолежащий катет.
3. Используем тангенс: \( \tan 60° = ½ \)
4. \( √{3} = ½ \)
5. \( a = 2 · \frac{6}{√{3}} = ½ \) см.
6. Апофема \( l \) равна: \( ½ \)
7. \( l = ½ \) см.
8. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = ½ · P_{осн} · l = ½ · (4a) · l = ½ · (4 · ½) · ½ = ½ \) см².
9. Площадь основания: \( S_{осн} = a^2 = (½)^2 = ½ \) см².
10. Полная площадь поверхности: \( S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = ½ + ½ \) см².

Ответ: ½ см².