3. (3 балла) Решите неравенство: 1) 27^x ≥ (1/3)^{x+2}; 2) (6 - x)(x + 1) > 0; 3) log_{0,2}(x - 1) > log_{0,2} 4.

Решение:

1. \( 27^x ≥ (1/3)^{x+2} \)
   Приведём к одному основанию \( 3 \): \( (3^3)^x ≥ (3^{-1})^{x+2} \)
   \( 3^{3x} ≥ 3^{-x-2} \)
   Так как основание \( 3 > 1 \), приравниваем показатели: \( 3x ≥ -x - 2 \)
   \( 4x ≥ -2 \)
   \( x ≥ -0,5 \)
2. \( (6 - x)(x + 1) > 0 \)
   Решим методом интервалов. Корни уравнения \( (6 - x)(x + 1) = 0 \) равны \( x = 6 \) и \( x = -1 \).
   На промежутке \( (-∞, -1) \) возьмём \( x = -2 \): \( (6 - (-2))(-2 + 1) = 8 · (-1) = -8 < 0 \).
   На промежутке \( (-1, 6) \) возьмём \( x = 0 \): \( (6 - 0)(0 + 1) = 6 · 1 = 6 > 0 \).
   На промежутке \( (6, +∞) \) возьмём \( x = 7 \): \( (6 - 7)(7 + 1) = (-1) · 8 = -8 < 0 \>.
   Значит, \( x ∈ (-1, 6) \).
3. \( \log_{0,2}(x - 1) > \log_{0,2} 4 \)
   Так как основание логарифма \( 0,2 < 1 \), меняем знак неравенства при переходе к аргументам: \( x - 1 < 4 \)
   \( x < 5 \)
   Также необходимо учесть область определения логарифма: \( x - 1 > 0 \) ⇐ \( x > 1 \>.
   Объединяя условия, получаем \( 1 < x < 5 \).

Ответ: 1) \( x ≥ -0,5 \); 2) \( (-1, 6) \); 3) \( (1, 5) \).