11. Найдите первообразную функции f(x) = 6x² - 4х + 1, график которой проходит через начало координат.

Решение:

Сначала найдём общую первообразную функции \( f(x) = 6x^2 - 4x + 1 \).

\( F(x) = ∫ (6x^2 - 4x + 1) dx \)

\( F(x) = 6 · ½ x^3 - 4 · ½ x^2 + x + C \)

\( F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x + C \).

График первообразной проходит через начало координат, значит, \( F(0) = 0 \).

Подставим \( x = 0 \) в выражение для \( F(x) \):

\( F(0) = 2(0)^3 - 2(0)^2 + 0 + C = 0 \).

\( C = 0 \).

Следовательно, искомая первообразная:

\( F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x \).

Ответ: \( F(x) = 2x^3 - 2x^2 + x \).