10. Решите уравнение: \(\cos x = \sin 2x \cdot \cos x\)

Решение:

Приведём уравнение к виду, позволяющему найти решения.

1. Перенесём все члены уравнения в одну сторону:
• \( \cos x - \sin 2x \cdot \cos x = 0 \).
2. Вынесем \( \cos x \) за скобки:
• \( \cos x (1 - \sin 2x) = 0 \).
3. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
• Случай 1: \( \cos x = 0 \).
• Это происходит при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Случай 2: \( 1 - \sin 2x = 0 \).
• \( \sin 2x = 1 \).
• Это происходит при \( 2x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
• Разделим на 2: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) и \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).