5. Вычислите предел: \(\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 2x}\)

Решение:

При подстановке \( x = 2 \) в числитель и знаменатель получим неопределённость вида \( \frac{0}{0} \). Разложим числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим знаменатель: \( x^2 - 2x = x(x - 2) \).
2. Разложим числитель. Найдем корни квадратного уравнения \( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \).
• Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \).
• Корни: \( x_1 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5 \), \( x_2 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \).
• Значит, \( 2x^2 - 3x - 2 = 2(x - 2)(x + 0.5) \).
3. Подставим разложенные выражения в предел:
• \( \lim_{x \to 2} \frac{2(x - 2)(x + 0.5)}{x(x - 2)} \).
• Сократим \( (x - 2) \):
• \( \lim_{x \to 2} \frac{2(x + 0.5)}{x} \).
4. Подставим \( x = 2 \):
• \( \frac{2(2 + 0.5)}{2} = \frac{2(2.5)}{2} = 2.5 \).

Ответ: \( 2.5 \).