4. Упростите выражение: \(\sqrt{108 \cos^2 \frac{23\pi}{12}} - \sqrt{27}\)

Решение:

Упростим выражение, используя свойства тригонометрических функций и корней.

1. Вынесем множители из-под корня:
• \( \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6 \sqrt{3} \)
• \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3 \sqrt{3} \)
2. Перепишем выражение: \( 6 \sqrt{3} \left| \cos \frac{23\pi}{12} \right| - 3 \sqrt{3} \).
3. Значение \( \cos \frac{23\pi}{12} \) положительно, так как \( \frac{23\pi}{12} \) находится в 4-й четверти, где косинус положителен. \( \frac{23\pi}{12} = 2\pi - \frac{\pi}{12} \). \( \cos \frac{23\pi}{12} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{12}) = \cos \frac{\pi}{12} \).
4. \( \cos \frac{\pi}{12} = \cos(15^{\circ}) = \cos(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \).
5. Подставим значение косинуса: \( 6 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 3 \sqrt{3} \).
6. \( \frac{6 \sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - 3 \sqrt{3} = \frac{3 \sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} - 3 \sqrt{3} \).
7. \( \frac{3 \sqrt{18} + 3 \sqrt{6}}{2} - 3 \sqrt{3} = \frac{3 \cdot 3\sqrt{2} + 3 \sqrt{6}}{2} - 3 \sqrt{3} = \frac{9\sqrt{2} + 3 \sqrt{6}}{2} - 3 \sqrt{3} \).
8. \( \frac{9\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}\sqrt{3}}{2} - 3 \sqrt{3} \).

Ответ: \( \frac{9\sqrt{2} + 3\sqrt{6}}{2} - 3\sqrt{3} \).