8. Вычислите определенный интеграл: \(\int_{1}^{2} (5x^4 - 2x + 9) dx\)

Решение:

Вычислим определенный интеграл, найдя первообразную и применив формулу Ньютона-Лейбница.

1. Найдем первообразную для функции \( f(x) = 5x^4 - 2x + 9 \):
• \( F(x) = \int (5x^4 - 2x + 9) dx = 5\frac{x^5}{5} - 2\frac{x^2}{2} + 9x + C = x^5 - x^2 + 9x + C \).
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \):
• \( \int_{1}^{2} (5x^4 - 2x + 9) dx = [x^5 - x^2 + 9x]_{1}^{2} \).
• \( F(2) = 2^5 - 2^2 + 9 \cdot 2 = 32 - 4 + 18 = 46 \).
• \( F(1) = 1^5 - 1^2 + 9 \cdot 1 = 1 - 1 + 9 = 9 \).
• \( F(2) - F(1) = 46 - 9 = 37 \).

Ответ: \( 37 \).