10. Решите уравнение: cos2xsinx = cos2x

Решение:

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить уравнение вида \( f(x) = 0 \):

\[ \cos(2x)\sin x - \cos(2x) = 0 \]\[ \cos(2x)(\sin x - 1) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому рассмотрим два случая:

Случай 1: \( \cos(2x) = 0 \)

Решение этого уравнения:

\[ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]\[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Случай 2: \( \sin x - 1 = 0 \)

\( \sin x = 1 \)

Решение этого уравнения:

\[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Таким образом, уравнение имеет два множества решений.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \) и \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \)