7. Найдите производную: (x² · arccos x)'

Решение:

Для нахождения производной произведения двух функций \( u(x) = x^2 \) и \( v(x) = \arccos x \) воспользуемся правилом производной произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \).

Сначала найдём производные от каждой функции:

• Производная от \( u(x) = x^2 \) равна \( u'(x) = 2x \).
• Производная от \( v(x) = \arccos x \) равна \( v'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \).

Теперь подставим эти значения в формулу производной произведения:

\[ (x^2 \cdot \arccos x)' = (x^2)' \cdot \arccos x + x^2 \cdot (\arccos x)' \]\[ = 2x \cdot \arccos x + x^2 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \]\[ = 2x \arccos x - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \]

Ответ: \( 2x \arccos x - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \)