5. Вычислите предел: lim (x+2) / (x→-2) (x³+8)

Решение:

При подстановке \( x = -2 \) в выражение, мы получаем неопределённость вида \( \frac{-2+2}{(-2)^3+8} = \frac{0}{-8+8} = \frac{0}{0} \).

Чтобы раскрыть эту неопределённость, разложим знаменатель на множители, используя формулу суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \).

В нашем случае \( x^3 + 8 = x^3 + 2^3 \), где \( a = x \) и \( b = 2 \).

Значит, \( x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 2^2) = (x+2)(x^2 - 2x + 4) \).

Теперь перепишем предел:

\[ \lim_{x\to -2} \frac{x+2}{x^3+8} = \lim_{x\to -2} \frac{x+2}{(x+2)(x^2 - 2x + 4)} \]

Сокращаем \( (x+2) \) (так как \( x \) стремится к -2, но не равен ему, \( x+2 \neq 0 \)):

\[ = \lim_{x\to -2} \frac{1}{x^2 - 2x + 4} \]

Теперь подставим \( x = -2 \) в оставшееся выражение:

\[ = \frac{1}{(-2)^2 - 2(-2) + 4} \]\[ = \frac{1}{4 + 4 + 4} \]\[ = \frac{1}{12} \]

Ответ: 1/12