10. Решите уравнение: х² + 4ху + 4y² + (y + 2)² = 0

Задание 10. Решение уравнения

Нам дано уравнение:

\[ x^2 + 4xy + 4y^2 + (y + 2)^2 = 0 \]

Шаг 1: Разобьем уравнение на части и попробуем выделить полные квадраты.

Обратим внимание на первые три слагаемых: x² + 4xy + 4y². Это формула квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b². В нашем случае a = x, а 2ab = 4xy. Значит, b = 2y.

Таким образом, x² + 4xy + 4y² = (x + 2y)².

Шаг 2: Перепишем уравнение, используя найденный полный квадрат.

\[ (x + 2y)^2 + (y + 2)^2 = 0 \]

Шаг 3: Проанализируем полученное уравнение.

У нас сумма двух квадратов равна нулю. Квадрат любого действительного числа неотрицателен (то есть больше или равен нулю).

(x + 2y)² >= 0

(y + 2)² >= 0

Сумма двух неотрицательных чисел может быть равна нулю только в одном случае: если оба слагаемых равны нулю одновременно.

Шаг 4: Составим систему уравнений из условий равенства нулю каждого квадрата.

\[
\begin{cases}
(x + 2y)^2 = 0 \\
(y + 2)^2 = 0
\end{cases}
\]

Это означает, что:

\[
\begin{cases}
x + 2y = 0 \\
y + 2 = 0
\end{cases}
\]

Шаг 5: Решим полученную систему.

Из второго уравнения найдем y:

\[ y + 2 = 0 \]

\[ y = -2 \]

Подставим найденное значение y = -2 в первое уравнение:

\[ x + 2(-2) = 0 \]

\[ x - 4 = 0 \]

\[ x = 4 \]

Шаг 6: Проверка.

Подставим x = 4 и y = -2 в исходное уравнение:

\[ (4 + 2(-2))^2 + (-2 + 2)^2 = (4 - 4)^2 + (0)^2 = 0^2 + 0^2 = 0 \] (Верно)

Ответ: x = 4, y = -2.