7. Решить систему графическим способом { x - y = 4, 2x + y = -1.

Задание 7. Решение системы уравнений графическим способом

Нам дана система уравнений:

\[
\begin{cases}
x - y = 4 \\
2x + y = -1
\end{cases}
\]

Шаг 1: Преобразуем каждое уравнение к виду функции y = ....

Первое уравнение: x - y = 4

Выразим y:

\[ y = x - 4 \]

Второе уравнение: 2x + y = -1

Выразим y:

\[ y = -2x - 1 \]

Шаг 2: Построим графики обеих функций.

Для построения графика линейной функции достаточно найти две точки.

График 1 (y = x - 4):

• Если x = 0, то y = 0 - 4 = -4. Точка (0, -4).
• Если x = 4, то y = 4 - 4 = 0. Точка (4, 0).

График 2 (y = -2x - 1):

• Если x = 0, то y = -2(0) - 1 = -1. Точка (0, -1).
• Если x = -1, то y = -2(-1) - 1 = 2 - 1 = 1. Точка (-1, 1).

Шаг 3: Найдем точку пересечения графиков.

Отметим обе точки для каждой прямой и проведем прямые. Точка, в которой они пересекаются, является решением системы.

Шаг 4: Определим координаты точки пересечения.

Графики пересекаются в точке с координатами (-1, -5).

Проверка:

Подставим x = -1 и y = -5 в исходные уравнения:

-1 - (-5) = -1 + 5 = 4 (Верно)

2(-1) + (-5) = -2 - 5 = -7 (Неверно. Ошибка в расчетах или в построении. Давайте пересчитаем.)

Пересчет:

График 1 (y = x - 4):

• Если x = -1, то y = -1 - 4 = -5. Точка (-1, -5).

График 2 (y = -2x - 1):

• Если x = -1, то y = -2(-1) - 1 = 2 - 1 = 1. Точка (-1, 1).

Снова ищем ошибку.

Проверка уравнений:

x - y = 4

2x + y = -1

Сложение уравнений:

(x - y) + (2x + y) = 4 + (-1)

3x = 3

x = 1

Подставим x = 1 в первое уравнение:

1 - y = 4

-y = 3

y = -3

Проверка:

x = 1, y = -3

1 - (-3) = 1 + 3 = 4 (Верно)

2(1) + (-3) = 2 - 3 = -1 (Верно)

Точка пересечения графиков: (1, -3)

Построение графиков для точек (1, -3):

Ответ: x = 1, y = -3.