10. Решите уравнение х³ + 5x²-9x-45 = 0

Задание 10

Чтобы решить кубическое уравнение \( x^3 + 5x^2 - 9x - 45 = 0 \), попробуем сгруппировать члены.

1. Сгруппируем первые два члена и последние два члена:
\[ (x^3 + 5x^2) + (-9x - 45) = 0 \]
2. Вынесем общие множители из каждой группы:
\[ x^2(x + 5) - 9(x + 5) = 0 \]
3. Теперь мы видим общий множитель \( (x + 5) \). Вынесем его:
\[ (x + 5)(x^2 - 9) = 0 \]
4. Разложим \( x^2 - 9 \) как разность квадратов \( (x-3)(x+3) \):
\[ (x + 5)(x - 3)(x + 3) = 0 \]
5. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
• \( x + 5 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = -5 \)
• \( x - 3 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = 3 \)
• \( x + 3 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = -3 \)
6. Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: -5; -3; 3.