9. Решите неравенство х²≤ 64.

Задание 9

Чтобы решить неравенство \( x^2 \le 64 \), нужно найти все значения \( x \), при которых квадрат числа не превышает 64.

1. Перенесем 64 в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:
\[ x^2 - 64 \le 0 \]
2. Разложим левую часть как разность квадратов \( (a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)) \):
\[ (x - 8)(x + 8) \le 0 \]
3. Теперь найдем корни уравнения \( (x - 8)(x + 8) = 0 \). Корни: \( x = 8 \) и \( x = -8 \).
4. Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; -8] \), \( [-8; 8] \), \( [8; +\infty) \).
5. Проверим знаки выражения \( (x - 8)(x + 8) \) в каждом интервале:
• При \( x < -8 \) (например, \( x = -10 \)): \( (-10 - 8)(-10 + 8) = (-18)(-2) = 36 > 0 \)
• При \( -8 < x < 8 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0 - 8)(0 + 8) = (-8)(8) = -64 < 0 \)
• При \( x > 8 \) (например, \( x = 10 \)): \( (10 - 8)(10 + 8) = (2)(18) = 36 > 0 \)
6. Нам нужно, чтобы выражение было \( \le 0 \), то есть отрицательным или равным нулю. Это происходит в интервале \( [-8; 8] \).

Ответ: \( [-8; 8] \).