10. Решите уравнение: sin²x – 6 sin x cos x + 5 cos² x = 0.

Решение:

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \), предполагая, что \( \cos x \neq 0 \).

1. Разделим уравнение на \( \cos^2 x \): \[ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{6 \sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{5 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \]
2. Упростим, используя \( \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \): \[ \operatorname{tg}^2 x - 6 \operatorname{tg} x + 5 = 0 \]
3. Сделаем замену переменной: пусть \( y = \operatorname{tg} x \). Получим квадратное уравнение: \( y^2 - 6y + 5 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \).
5. Найдем корни: \( y_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5 \) и \( y_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1 \).
6. Вернемся к замене:
• \( \operatorname{tg} x = 5 \implies x = \operatorname{arctg} 5 + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• \( \operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
7. Проверим, не равен ли \( \cos x \) нулю. Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi m \). В этом случае \( \sin x = \pm 1 \). Подставим в исходное уравнение: \( (\pm 1)^2 - 6(\pm 1) \cdot 0 + 5 \cdot 0^2 = 1 \neq 0 \). Значит, \( \cos x \neq 0 \) и мы можем делить на \( \cos^2 x \).

Ответ: \( x = \operatorname{arctg} 5 + \pi k \) и \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).