7. Найдите производную: (x² · lnx)′

Решение:

Для нахождения производной произведения двух функций \( u(x) = x^2 \) и \( v(x) = \ln x \) используем правило производной произведения: \( (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \).

1. Найдем производную \( u'(x) \) от \( u(x) = x^2 \): \( u'(x) = 2x \).
2. Найдем производную \( v'(x) \) от \( v(x) = \ln x \): \( v'(x) = \frac{1}{x} \).
3. Подставим найденные производные в формулу производной произведения: \( (x^2 \cdot \ln x)' = (2x) \cdot (\ln x) + (x^2) \cdot (\frac{1}{x}) \).
4. Упростим выражение: \( 2x \ln x + \frac{x^2}{x} = 2x \ln x + x \).

Ответ: \( 2x \ln x + x \)