11. Решите неравенство: 5^(x+1) - 5^(x-2) < 620

Решение:

Чтобы решить показательное неравенство \( 5^{x+1} - 5^{x-2} < 620 \), вынесем общий множитель за скобки.

1. Перепишем степени: \( 5^{x+1} = 5^x \cdot 5^1 \) и \( 5^{x-2} = 5^x \cdot 5^{-2} = \frac{5^x}{5^2} = \frac{5^x}{25} \).
2. Подставим в неравенство: \( 5^x \cdot 5 - \frac{5^x}{25} < 620 \).
3. Вынесем \( 5^x \) за скобки: \( 5^x \left( 5 - \frac{1}{25} \right) < 620 \).
4. Вычислим значение в скобках: \( 5 - \frac{1}{25} = \frac{5 \cdot 25 - 1}{25} = \frac{125 - 1}{25} = \frac{124}{25} \).
5. Получим: \( 5^x \cdot \frac{124}{25} < 620 \).
6. Выразим \( 5^x \): \( 5^x < 620 \cdot \frac{25}{124} \).
7. Упростим правую часть: \( 620 / 124 = 5 \). \( 5^x < 5 \cdot 25 = 125 \).
8. Перепишем 125 как степень пятерки: \( 125 = 5^3 \).
9. Получим: \( 5^x < 5^3 \).
10. Так как основание степени \( 5 > 1 \), при решении неравенства знаки сохраняются: \( x < 3 \).

Ответ: \( x < 3 \)