10. Решите уравнение: $$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 1$$

Решение:

Это тригонометрическое уравнение вида \( a \sin x + b \cos x = c \). Его можно решить, разделив обе части на \( \sqrt{a^2 + b^2} \).

В данном случае \( a = 1 \) и \( b = \sqrt{3} \). Тогда \( \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \).

Разделим уравнение на 2:

\[ \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{1}{2} \]

Теперь заметим, что \( \frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3}) \) и \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3}) \). Уравнение примет вид:

\[ \cos(\frac{\pi}{3}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{3}) \cos x = \frac{1}{2} \]

Используя формулу синуса суммы \( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \), получим:

\[ \sin(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \]

Теперь решим это простейшее тригонометрическое уравнение.

Возможны два случая:

1. \( x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
2. \( x + \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Выразим \( x \) из каждого случая:

1. \( x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi - 2\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \).
2. \( x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{5\pi - 2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \).

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).