3. Вычислите: $$\log_{\sqrt[3]{3}} \frac{3\sqrt{3}}{3}$$

Решение:

1. Упростим аргумент логарифма: \( \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \).
2. Запишем основание логарифма в виде степени: \( \sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}} \).
3. Теперь логарифм имеет вид: \( \log_{3^{\frac{1}{3}}} \sqrt{3} \).
4. Аргумент \( \sqrt{3} \) также запишем в виде степени: \( \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} \).
5. Логарифм стал: \( \log_{3^{\frac{1}{3}}} 3^{\frac{1}{2}} \).
6. Воспользуемся формулой \( \log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b \). В нашем случае \( a = 3 \), \( m = \frac{1}{3} \), \( n = \frac{1}{2} \).
7. Тогда: \( \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} \log_3 3 \).
8. Так как \( \log_3 3 = 1 \), получаем: \( \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2} \).

Ответ: \(\frac{3}{2}\).