10. Решите уравнение $$x(x - 1)(x - 2)(x-3) = 24$$. В ответ запишите корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $$|x| < 4$$.

Решение:

1. Перегруппируем множители: Сгруппируем множители так, чтобы суммы степеней $$x$$ в парах были одинаковыми: $$ [x(x-3)][(x-1)(x-2)] = 24 $$ $$ (x^2 - 3x)(x^2 - 3x + 2) = 24 $$
2. Введем замену переменной: Пусть $$y = x^2 - 3x$$. Тогда уравнение примет вид: $$ y(y+2) = 24 $$
3. Решим квадратное уравнение относительно $$y$$: $$ y^2 + 2y - 24 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = 2^2 - 4(1)(-24) = 4 + 96 = 100 $$ Найдем корни $$y$$: $$ y_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-2 \pm 10}{2} $$ $$ y_1 = \frac{-2 + 10}{2} = 4 $$ $$ y_2 = \frac{-2 - 10}{2} = -6 $$
4. Вернемся к замене $$x$$:
5. Случай 1: $$y = 4$$
$$ x^2 - 3x = 4 $$ $$ x^2 - 3x - 4 = 0 $$ Дискриминант: $$D = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$$. Корни: $$ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} $$ $$ x_1 = \frac{3+5}{2} = 4 $$ $$ x_2 = \frac{3-5}{2} = -1 $$
6. Случай 2: $$y = -6$$
$$ x^2 - 3x = -6 $$ $$ x^2 - 3x + 6 = 0 $$ Дискриминант: $$D = (-3)^2 - 4(1)(6) = 9 - 24 = -15$$. Так как дискриминант отрицательный, действительных корней в этом случае нет.
7. Проверим корни на неравенство $$|x| < 4$$:
8. $$x_1 = 4$$: $$|4| = 4$$. Неравенство $$|x| < 4$$ не выполняется.
9. $$x_2 = -1$$: $$|-1| = 1$$. Неравенство $$|x| < 4$$ выполняется.

Ответ: -1