9. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, радиус вписанной окружности — 2 см. Найдите площадь треугольника.

Решение:

1. Формула площади через радиус вписанной окружности: Площадь $$S$$ треугольника можно найти по формуле $$S = p \cdot r$$, где $$p$$ — полупериметр треугольника, а $$r$$ — радиус вписанной окружности.
2. Формула полупериметра: $$p = \frac{a+b+c}{2}$$, где $$a$$ и $$b$$ — катеты, а $$c$$ — гипотенуза.
3. Связь радиуса вписанной окружности с катетами: Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности можно найти по формуле $$r = \frac{a+b-c}{2}$$.
4. Найдем сумму катетов: Из формулы радиуса выразим сумму катетов: $$ a+b = 2r + c $$ Подставим известные значения $$r=2$$ см и $$c=13$$ см: $$ a+b = 2(2) + 13 = 4 + 13 = 17 \text{ см} $$
5. Найдем полупериметр: $$ p = \frac{(a+b) + c}{2} = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ см} $$
6. Найдем площадь треугольника: Теперь используем формулу $$S = p \cdot r$$: $$ S = 15 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 30 \text{ см}^2 $$

Ответ: 30 см²