7. Найдите значение выражения $$\left(\frac{7}{3-\sqrt{2}}\right)^2 - \left(\frac{3-4\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}\right)^2$$. В ответ запишите число, противоположное найденному.

Решение:

1. Упростим первую дробь: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю ($$3+\sqrt{2}$$): $$ \frac{7}{3-\sqrt{2}} = \frac{7(3+\sqrt{2})}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})} = \frac{21+7\sqrt{2}}{3^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{21+7\sqrt{2}}{9-2} = \frac{21+7\sqrt{2}}{7} = 3+\sqrt{2} $$
2. Возведем первую дробь в квадрат: $$ (3+\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 + 6\sqrt{2} + 2 = 11 + 6\sqrt{2} $$
3. Упростим вторую дробь: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю ($$4+\sqrt{3}$$): $$ \frac{3-4\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}} = \frac{(3-4\sqrt{3})(4+\sqrt{3})}{(4-\sqrt{3})(4+\sqrt{3})} = \frac{12 + 3\sqrt{3} - 16\sqrt{3} - 4(\sqrt{3})^2}{4^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{12 - 13\sqrt{3} - 12}{16-3} = \frac{-13\sqrt{3}}{13} = -\sqrt{3} $$
4. Возведем вторую дробь в квадрат: $$ (-\sqrt{3})^2 = 3 $$
5. Вычислим значение всего выражения: $$ (11 + 6\sqrt{2}) - 3 = 8 + 6\sqrt{2} $$
6. Найдем число, противоположное найденному: Число, противоположное $$8 + 6\sqrt{2}$$, это $$-(8 + 6\sqrt{2}) = -8 - 6\sqrt{2}$$.

Ответ: $$-8 - 6\sqrt{2}$$