10. Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, произведение цифр которых равно 100?

Так как произведение цифр ненулевое, цифра 0 не встречается. Разложим \(100=2^2\cdot5^2\). Подходящие цифры должны быть из набора 1, 2, 4, 5, 10 невозможно как цифра; значит, для разложения подходят 2, 4 и 5.

Однозначных чисел нет. Для двузначных разложение возможно только как \(4\cdot25\) нельзя, поэтому двузначных нет. Для трёхзначных произведение 100 получают наборы цифр \(2,5,10\) (цифра 10 невозможна) или \(4,5,5\): последний набор даёт 3 перестановки, то есть 455, 545, 554.

Ответ: 3.