10. Сравните значения выражений f(27 - 8√11) и g(4 + √11), если f(x) = √x, g(x) = 5/x

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Сначала вычислим значение первого выражения: $$f(27 - 8√11)$$.

Для этого нужно упростить выражение под корнем $$27 - 8√11$$. Попробуем представить его в виде квадрата разности $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$.

$$27 - 8√11 = 27 - 2 \times 4 \times √11 = 27 - 2 \times √16 \times √11 = 27 - 2 \times √{16 \times 11} = 27 - 2 \times √176$$.

Это не приводит к простому виду. Попробуем представить $$27 - 8√11$$ в виде $$(√ a - √ b)^2 = a - 2√{ab} + b$$.

$$8√11 = 2 \times 4 \times √11 = 2 \times √{16 \times 11} = 2 \times √{176}$$.

Нам нужно найти два числа $$a$$ и $$b$$ таких, что $$a+b = 27$$ и $$ab = 176$$.

Перебором множителей числа 176 (1, 2, 4, 8, 11, 16, 22, 44, 88, 176) находим, что $$16 + 11 = 27$$.

Таким образом, $$27 - 8√11 = 16 + 11 - 2 \times √{16 \times 11} = (√16 - √11)^2 = (4 - √11)^2$$.

Тогда $$f(27 - 8√11) = √{(4 - √11)^2}$$.

Так как $$4 = √16$$ и $$√16 > √11$$, то $$4 - √11 > 0$$. Следовательно, $$√{(4 - √11)^2} = 4 - √11$$.

Теперь вычислим значение второго выражения: $$g(4 + √11)$$.

$$g(4 + √11) = \frac{5}{4 + √11}}$$.

Чтобы сравнить $$4 - √11$$ и $$\frac{5}{4 + √11}}$$, приведем второе выражение к более удобному виду, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$$\frac{5}{4 + √11}} = \frac{5 \times (4 - √11)}{(4 + √11)(4 - √11)}} = \frac{5(4 - √11)}}{4^2 - (√11)^2}} = \frac{5(4 - √11)}}{16 - 11}} = \frac{5(4 - √11)}}{5}} = 4 - √11$$.

Мы получили, что $$f(27 - 8√11) = 4 - √11$$ и $$g(4 + √11) = 4 - √11$$.

Ответ: Значения выражений равны.