10. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые рёбра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Дано:

• Правильная шестиугольная пирамида.
• Сторона основания (a) = 10.
• Боковое ребро (l) = 13.

Найти: Площадь боковой поверхности (S_{бок}).

Решение:

1. Находим апофему (h_a) боковой грани:
   В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Апофема боковой грани (высота боковой грани, которая является равнобедренным треугольником) находится из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром, апофемой основания и апофемой боковой грани.
   1. Находим апофему основания (a_осн):
   В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Треугольник, образованный двумя радиусами и стороной, равносторонний. Апофема основания — это высота такого равностороннего треугольника, разделенного пополам.
   Апофема основания $$a_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10 = 5\sqrt{3}$$.
2. Находим апофему боковой грани (h_a):
   Используем теорему Пифагора: $$l^2 = h_a^2 + a_{осн}^2$$.
   \[ h_a = \sqrt{l^2 - a_{осн}^2} = \sqrt{13^2 - (5\sqrt{3})^2} \]
   \[ h_a = \sqrt{169 - (25 \times 3)} = \sqrt{169 - 75} = \sqrt{94} \]
3. Находим площадь боковой поверхности (S_{бок}):
   Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: $$S_{бок} = \frac{1}{2} \times P_{осн} \times h_a$$, где $$P_{осн}$$ — периметр основания.
   Периметр основания: $$P_{осн} = 6 \times a = 6 \times 10 = 60$$.
   \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times 60 \times \sqrt{94} = 30 \sqrt{94} \]

Ответ: $$30\sqrt{94}$$