6. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно √43.

Дано:

• Правильная четырёхугольная пирамида.
• Сторона основания (a) = 6.
• Боковое ребро (l) = $$\sqrt{43}$$.

Найти: Объём пирамиды (V).

Решение:

1. Находим апофему (h_a) боковой грани:
   В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Половина стороны основания равна $$6 / 2 = 3$$.
   Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного апофемой, половиной стороны основания и боковым ребром: $$l^2 = h_a^2 + (a/2)^2$$.
   \[ h_a = \sqrt{l^2 - (a/2)^2} = \sqrt{(\sqrt{43})^2 - 3^2} = \sqrt{43 - 9} = \sqrt{34} \]
2. Находим высоту пирамиды (H):
   Расстояние от центра основания до середины стороны основания (апофема основания) равно половине стороны основания, т.е. $$a/2 = 3$$.
   Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, апофемой основания и апофемой боковой грани: $$h_a^2 = H^2 + (a/2)^2$$.
   \[ H = \sqrt{h_a^2 - (a/2)^2} = \sqrt{(\sqrt{34})^2 - 3^2} = \sqrt{34 - 9} = \sqrt{25} = 5 \]
3. Находим площадь основания (S_осн):
   \[ S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \]
4. Находим объём пирамиды (V):
   \[ V = \frac{1}{3} \times S_{осн} \times H = \frac{1}{3} \times 36 \times 5 = 12 \times 5 = 60 \]

Ответ: 60