8. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра BC, BA и диагональ BC₁ боковой грани равны соответственно 3, 7 и 3√5. Найдите площадь поверхности параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.

Дано:

• Прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.
• Ребро BC = 3.
• Ребро BA = 7.
• Диагональ BC₁ = $$3\sqrt{5}$$.

Найти: Площадь поверхности (S).

Решение:

1. Находим ребро BB₁ (высоту параллелепипеда):
   Рассмотрим боковую грань BB₁C₁C. Это прямоугольник. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника BB₁C₁: $$BC_1^2 = BB_1^2 + B_1C_1^2$$.
   В прямоугольном параллелепипеде $$B_1C_1 = AD = BC = 3$$.
   \[ (3\sqrt{5})^2 = BB_1^2 + 3^2 \]
   \[ 45 = BB_1^2 + 9 \]
   \[ BB_1^2 = 45 - 9 = 36 \]
   \[ BB_1 = \sqrt{36} = 6 \]
2. Определяем длины рёбер:
   Длина = BA = 7.
   Ширина = BC = 3.
   Высота = BB₁ = 6.
3. Находим площадь поверхности (S):
   Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $$S = 2(lw + lh + wh)$$, где l, w, h — длина, ширина и высота.
   \[ S = 2 \times (7 \times 3 + 7 \times 6 + 3 \times 6) \]
   \[ S = 2 \times (21 + 42 + 18) \]
   \[ S = 2 \times 81 = 162 \]

Ответ: 162