10. Сумма цифр трёхзначного натурального числа A делится на 12. Сумма цифр числа (A + 6) также делится на 12. Найдите наименьшее возможное число A.

При прибавлении 6 сумма цифр может измениться на 6, −3, −12 или −21 — в зависимости от переносов. Поскольку обе суммы делятся на 12, их разность тоже должна делиться на 12. Из этих изменений подходит только −12.

Такое изменение происходит, если число оканчивается цифрами от 94 до 99 и цифра сотен не равна 9. Ищем наименьшее число с такими последними цифрами, сумма цифр которого делится на 12. Первое подходящее число — 699: сумма его цифр равна 24, а 699 + 6 = 705, сумма цифр которого равна 12.

Ответ: 699.