10. (Теорема Хелли.) Если любые три выпуклые фигуры имеют общую точку, докажите, что любые четыре фигуры имеют общую точку.

Пусть даны выпуклые фигуры A, B, C, D, и любые три из них имеют общую точку. Выберем точки:

1. x_A ∈ B ∩ C ∩ D;
2. x_B ∈ A ∩ C ∩ D;
3. x_C ∈ A ∩ B ∩ D;
4. x_D ∈ A ∩ B ∩ C.

Рассмотрим треугольник с вершинами x_A, x_B, x_C. Фигура A содержит x_B и x_C; фигура B содержит x_A и x_C; фигура C содержит x_A и x_B. По выпуклости каждая из этих фигур содержит соответствующую сторону треугольника.

Фигура D содержит все четыре выбранные точки, в частности x_A, x_B, x_C, поэтому содержит весь треугольник. Три стороны треугольника попарно пересекаются. Точки пересечения сторон принадлежат одновременно A, B, C и D: каждая сторона лежит в двух из первых трёх фигур, а весь треугольник лежит в D. Значит, четыре фигуры имеют общую точку.