10. Теплоход прошел 108 км по течению реки и 84 км против течения, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость теплохода, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Решение:

1. Обозначим собственную скорость теплохода как \(v\) км/ч.
2. Скорость теплохода по течению: \( v+3 \) км/ч.
3. Скорость теплохода против течения: \( v-3 \) км/ч.
4. Время в пути по течению: \( t_1 = \frac{108}{v+3} \) часов.
5. Время в пути против течения: \( t_2 = \frac{84}{v-3} \) часов.
6. Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 8 \) часов.
7. Составим уравнение: \( \frac{108}{v+3} + \frac{84}{v-3} = 8 \).
8. Умножим обе части уравнения на \( (v+3)(v-3) \) для избавления от знаменателей (при условии \(v ≠ 3\) и \(v ≠ -3\)): \( 108(v-3) + 84(v+3) = 8(v+3)(v-3) \).
9. Раскроем скобки: \( 108v - 324 + 84v + 252 = 8(v^2 - 9) \).
10. Приведём подобные слагаемые: \( 192v - 72 = 8v^2 - 72 \).
11. Перенесём все члены в одну сторону: \( 8v^2 - 192v = 0 \).
12. Вынесем общий множитель \(8v\): \( 8v(v - 24) = 0 \).
13. Получаем два возможных решения: \( 8v = 0 \) или \( v - 24 = 0 \).
14. \( v = 0 \) или \( v = 24 \).
15. Скорость теплохода не может быть равна 0, поэтому выбираем \( v = 24 \).
16. Проверим, что \(v=24 ≠ 3\) и \(v=24 ≠ -3\).

Ответ: 24 км/ч.