9. Решите уравнение: \(\frac{x+21}{x^2-9} - \frac{x}{x+3} = 0\).

Решение:

1. Приведём знаменатели к общему виду. Знаменатель \(x^2-9\) можно разложить как разность квадратов: \( (x-3)(x+3) \).
2. Умножим вторую дробь на \( (x-3) \), чтобы получить общий знаменатель: \( \frac{x+21}{(x-3)(x+3)} - \frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)} = 0 \).
3. Теперь у нас есть общий знаменатель. Запишем уравнение с одним знаменателем: \( \frac{x+21 - x(x-3)}{(x-3)(x+3)} = 0 \).
4. Уравнение имеет решение, когда числитель равен нулю, при условии, что знаменатель не равен нулю. \( x ≠ 3 \) и \( x ≠ -3 \).
5. Раскроем скобки в числителе: \( x+21 - (x^2 - 3x) = 0 \)
6. \( x + 21 - x^2 + 3x = 0 \)
7. \( -x^2 + 4x + 21 = 0 \)
8. Умножим на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения: \( x^2 - 4x - 21 = 0 \).
9. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \).
10. \( \sqrt{D} = 10 \).
11. Найдем корни: \( x_1 = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7 \). \( x_2 = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \).
12. Проверим полученные корни на соответствие условию \( x ≠ 3 \) и \( x ≠ -3 \). Корень \( x_2 = -3 \) не подходит, так как обращает знаменатель в ноль.
13. Единственный корень уравнения: \( x = 7 \).

Ответ: 7.