10. Точки D, A, C лежат на одной прямой, BD перпендикулярна этой прямой. На рисунке BC = 4, BA = 2, AC = 3, BD = x. Найти x.

Обозначим \(DA=a\). Тогда \(DC=a+3\).

Из прямоугольного треугольника BDA: \(x^2+a^2=2^2=4\).

Из прямоугольного треугольника BDC: \(x^2+(a+3)^2=4^2=16\).

Вычтем первое равенство из второго: \((a+3)^2-a^2=12\), откуда \(6a+9=12\), то есть \(a=\frac12\).

Тогда \(x^2=4-\left(\frac12\right)^2=\frac{15}{4}\), значит, \(x=\frac{\sqrt{15}}{2}\).

Ответ: \(x=\frac{\sqrt{15}}{2}\).