12. В треугольнике ABC: AB = √5, BC = √13, AC = √10. Высота BD перпендикулярна AC, BD = x. Найти x.

Пусть \(AD=m\), тогда \(DC=\sqrt{10}-m\). По теореме Пифагора в треугольниках ABD и BCD:

\(m^2+x^2=5\), \((\sqrt{10}-m)^2+x^2=13\).

Вычитая первое равенство из второго, получаем \(10-2\sqrt{10}\,m=8\), поэтому \(m=\frac{1}{\sqrt{10}}\).

Тогда \(x^2=5-m^2=5-\frac{1}{10}=\frac{49}{10}\), следовательно, \(x=\frac{7}{\sqrt{10}}=\frac{7\sqrt{10}}{10}\).

Ответ: \(x=\frac{7\sqrt{10}}{10}\).