10. Угол между высотой конуса и его образующей равен 60° и равна 18 см

Решение:

В задании, вероятно, имеется в виду, что образующая конуса равна 18 см, а угол между высотой и образующей равен 60°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса (\( h \)), радиусом основания (\( r \)) и образующей (\( l \)). Угол между высотой и образующей равен 60°.

По условию, образующая \( l = 18 \) см.

В этом прямоугольном треугольнике:

1. Высота \( h \) является прилежащим катетом к углу 60°.

2. Радиус основания \( r \) является противолежащим катетом к углу 60°.

Используем тригонометрические соотношения:

\[ \cos(60^{\circ}) = \frac{h}{l} \]

\[ h = l \cdot \cos(60^{\circ}) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 \) см.

\[ \sin(60^{\circ}) = \frac{r}{l} \]

\[ r = l \cdot \sin(60^{\circ}) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \) см.

Площадь полной поверхности конуса \( S_{полн} \) складывается из площади боковой поверхности \( S_{бок} \) и площади основания \( S_{осн} \).

\[ S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} \]

Формулы:

\[ S_{бок} = \pi r l \]

\[ S_{осн} = \pi r^2 \]

Подставим найденные значения \( r \) и \( l \) в формулы:

\[ S_{бок} = \(\pi\) \(\cdot\) \(9\sqrt{3}\) \(\cdot\) 18 = 162\(\sqrt{3}\) \(\pi\) \) см².

\[ S_{осн} = \(\pi\) \(\cdot\) \(9\sqrt{3}\)^2 = \(\pi\) \(\cdot\) \(81 \cdot 3\) = 243 \(\pi\) \) см².

Теперь найдём полную площадь поверхности:

\[ S_{полн} = 162\(\sqrt{3}\) \(\pi\) + 243 \(\pi\) = \(\pi\) \(162\sqrt{3} + 243\) \) см².

Можно вынести общий множитель 27:

\[ S_{полн} = 27\(\pi\) \(6\sqrt{3} + 9\) \) см².

Ответ: \( S_{полн} = \pi (162\sqrt{3} + 243) \) см²