6. Найдите промежутки возрастания функции y = x³ - 6x² + 9x + 17

Решение:

Функция возрастает там, где её производная больше нуля.

Найдем производную функции \( y = x^3 - 6x^2 + 9x + 17 \):

\[ y' = (x^3 - 6x^2 + 9x + 17)' \]

\[ y' = 3x^2 - 12x + 9 \]

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \]

Разделим все члены на 3:

\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]

Корни \( x_1 \) и \( x_2 \):

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2} \]

\( x_1 = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Критические точки: \( x = 1 \) и \( x = 3 \). Эти точки делят числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, 1) \), \( (1, 3) \), \( (3, \infty) \).

Определим знак производной \( y' = 3x^2 - 12x + 9 \) на каждом интервале.

1. Интервал \( (-\infty, 1) \). Возьмём \( x = 0 \): \( y'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0 \). Функция возрастает.

2. Интервал \( (1, 3) \). Возьмём \( x = 2 \): \( y'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 3(4) - 24 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0 \). Функция убывает.

3. Интервал \( (3, \infty) \). Возьмём \( x = 4 \): \( y'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 3(16) - 48 + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0 \). Функция возрастает.

Функция возрастает на интервалах, где \( y' > 0 \).

Ответ: \( (-\infty, 1] \) и \( [3, \infty) \)