10. Упростите выражение ((x^2 + y^2)/(xy^(1/2) + x^(1/2)y) − (x + y)/(y^(1/2) + x^(1/2))) · xy^(−1).

В первой дроби вынесем общий множитель в знаменателе: \(xy^{1/2}+x^{1/2}y=x^{1/2}y^{1/2}(x^{1/2}+y^{1/2})\). Во второй дроби знаменатель равен \(x^{1/2}+y^{1/2}\).

\(\dfrac{x^2+y^2}{xy^{1/2}+x^{1/2}y}=\dfrac{x^{3/2}+y^{3/2}}{x^{1/2}+y^{1/2}}\).

Разность дробей:

\(\dfrac{x^{3/2}+y^{3/2}-x-y}{x^{1/2}+y^{1/2}}\).

Поскольку \(x^{3/2}-x=x(\sqrt{x}-1)\), а \(y^{3/2}-y=y(\sqrt{y}-1)\), числитель в общем случае не имеет множителя \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\), позволяющего сократить выражение. Умножение на \(xy^{-1}=x/y\) даёт:

\(\dfrac{x(x^{3/2}+y^{3/2}-x-y)}{y(\sqrt{x}+\sqrt{y})}\).

Ответ: \(\dfrac{x(x^{3/2}+y^{3/2}-x-y)}{y(\sqrt{x}+\sqrt{y})}\).