10. В магазине канцтоваров продается 200 ручек: 23 красных, 9 синих, 6 зелёных, остальные — чёрные. Сколькими способами можно выбрать 2 ручки так, чтобы они были одного цвета?

Решение:

Сначала найдём количество чёрных ручек:

\[ 200 - (23 + 9 + 6) = 200 - 38 = 162 \]

Теперь найдём количество способов выбрать 2 ручки одного цвета:

• Способы выбрать 2 красные ручки: \( C_{23}^2 = \frac{23!}{2!(23-2)!} = \frac{23 \times 22}{2 \times 1} = 23 \times 11 = 253 \)
• Способы выбрать 2 синие ручки: \( C_{9}^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 9 \times 4 = 36 \)
• Способы выбрать 2 зелёные ручки: \( C_{6}^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 3 \times 5 = 15 \)
• Способы выбрать 2 чёрные ручки: \( C_{162}^2 = \frac{162!}{2!(162-2)!} = \frac{162 \times 161}{2 \times 1} = 81 \times 161 = 13041 \)

Общее количество способов выбрать 2 ручки одного цвета равно сумме способов для каждого цвета:

\[ 253 + 36 + 15 + 13041 = 13345 \]

Ответ: 13345