10. В однородном магнитном поле магнитная индукция равна 2 Тл и направлена под углом 30.° К вертикали, вертикально вверх движется прямой проводник массой 2 кг, по которой течет ток 4 А. Через 3 с после начала движения проводник имеет скорость 10 м/с. Определить длину проводника.

Решение:

В данной задаче необходимо определить длину проводника, на который действует сила Ампера. Формула силы Ампера:

\( F_A = I l B \sin{\alpha} \)

где:

• \( F_A \) — сила Ампера;
• \( I \) — сила тока в проводнике;
• \( l \) — длина проводника;
• \( B \) — индукция магнитного поля;
• \( \alpha \) — угол между направлением тока и вектором индукции магнитного поля.

Движение проводника происходит вертикально вверх, значит, проводник движется под действием результирующей силы. По второму закону Ньютона:

\( m a = F_A - m g \)

где:

• \( m \) — масса проводника;
• \( a \) — ускорение проводника;
• \( g \) — ускорение свободного падения (примем \( g = 10 \) м/с²).

По условию задачи:

• \( B = 2 \) Тл
• \( I = 4 \) А
• \( m = 2 \) кг
• \( v_0 = 0 \) м/с (начальная скорость)
• \( v = 10 \) м/с (конечная скорость)
• \( t = 3 \) с
• Угол между направлением тока (предполагаем, что ток направлен вдоль проводника, который движется вертикально вверх) и вектором индукции \( 30^{\circ} \) к вертикали. Так как проводник движется вертикально вверх, а поле направлено под углом \( 30^{\circ} \) к вертикали, то угол между направлением движения (и, следовательно, направлением тока) и вектором магнитной индукции равен \( 30^{\circ} \). Таким образом, \( \alpha = 30^{\circ} \) и \( \sin{30^{\circ}} = 0.5 \).

Сначала найдем ускорение проводника:

\( v = v_0 + a t \)

\( 10 \text{ м/с} = 0 + a \cdot 3 \text{ с} \)

\( a = \frac{10}{3} \text{ м/с}^2 \)

Теперь подставим значения в уравнение второго закона Ньютона:

\( m a = I l B \sin{\alpha} - m g \)

\( 2 \text{ кг} \cdot \frac{10}{3} \text{ м/с}^2 = 4 \text{ А} \cdot l \cdot 2 \text{ Тл} \cdot 0.5 - 2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \)

\( \frac{20}{3} = 4l - 20 \)

\( 4l = 20 + \frac{20}{3} \)

\( 4l = \frac{60 + 20}{3} = \frac{80}{3} \)

\( l = \frac{80}{3 \cdot 4} = \frac{20}{3} \text{ м} \)

\( l \approx 6.67 \text{ м} \)

Ответ: \(\frac{20}{3}\) м (приблизительно 6.67 м)