10. В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды АВ и CD, которые пересекаются в точке К, АК = 2, KB = 6, DK = 3. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

1. Найдем длину хорды AB:

\( AB = AK + KB = 2 + 6 = 8 \)

2. Используем свойство пересекающихся хорд:

Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. То есть, \( AK \times KB = DK \times KC \).

\( 2 \times 6 = 3 \times KC \)

\( 12 = 3 \times KC \)

\( KC = \frac{12}{3} = 4 \)

3. Найдем длину хорды CD:

\( CD = DK + KC = 3 + 4 = 7 \)

4. Найдем радиус окружности.

Пусть \( O \) — центр окружности. Поскольку хорды перпендикулярны, мы можем построить прямоугольник, используя отрезки хорд. Координатный метод может быть удобен здесь. Поместим точку пересечения \( K \) в начало координат (0,0). Тогда:

• \( A = (-2, 0), B = (6, 0) \)
• \( D = (0, 3), C = (0, -4) \)

Центр окружности \( O \) будет иметь координаты \( (x_0, y_0) \). Расстояние от центра до любой точки на окружности равно радиусу \( R \).

\( R^2 = (x_A - x_0)^2 + (y_A - y_0)^2 = (-2 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 \)

\( R^2 = (x_B - x_0)^2 + (y_B - y_0)^2 = (6 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 \)

\( R^2 = (x_D - x_0)^2 + (y_D - y_0)^2 = (0 - x_0)^2 + (3 - y_0)^2 \)

\( R^2 = (x_C - x_0)^2 + (y_C - y_0)^2 = (0 - x_0)^2 + (-4 - y_0)^2 \)

Приравниваем первые два уравнения:

\( (-2 - x_0)^2 + y_0^2 = (6 - x_0)^2 + y_0^2 \)

\( 4 + 4x_0 + x_0^2 = 36 - 12x_0 + x_0^2 \)

\( 4 + 4x_0 = 36 - 12x_0 \)

\( 16x_0 = 32 \)

\( x_0 = 2 \)

Приравниваем третье и четвертое уравнения (или первое и третье):

\( R^2 = (0 - x_0)^2 + (3 - y_0)^2 \)

\( R^2 = x_0^2 + (3 - y_0)^2 \)

\( R^2 = x_0^2 + (-4 - y_0)^2 \)

\( x_0^2 + (3 - y_0)^2 = x_0^2 + (-4 - y_0)^2 \)

\( (3 - y_0)^2 = (-4 - y_0)^2 \)

\( 9 - 6y_0 + y_0^2 = 16 + 8y_0 + y_0^2 \)

\( 9 - 6y_0 = 16 + 8y_0 \)

\( -7 = 14y_0 \)

\( y_0 = -\frac{7}{14} = -0.5 \)

Итак, центр окружности \( O = (2, -0.5) \).

Теперь найдем радиус \( R \) по любой из формул. Используем \( R^2 = (6 - x_0)^2 + (0 - y_0)^2 \):

\( R^2 = (6 - 2)^2 + (0 - (-0.5))^2 \)

\( R^2 = 4^2 + (0.5)^2 \)

\( R^2 = 16 + 0.25 \)

\( R^2 = 16.25 \)

5. Найдем площадь круга:

Площадь круга вычисляется по формуле \( S = \pi R^2 \).

\( S = \pi \times 16.25 \)

Ответ: Площадь круга равна 3 16,25π